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(2008•廣安)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經過點(1,-5)和(-2,4)
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與直線y=x相交于點A,B(點B在點A的右側),平行于y軸的直線x=m(0<m<+1)與拋物線交于點M,與直線y=x交于點N,交x軸于點P,求線段MN的長(用含m的代數式表示);
(3)在條件(2)的情況下,連接OM、BM,是否存在m的值,使△BOM的面積S最大?若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)利用待定系數法,將A,B的坐標代入解析式即可求得二次函數的解析式;
(2)因為點B是y=x與y=x2-2x-4的交點,根據題意可求得N,M的坐標,則可表示出MN的長,通過縱坐標的絕對值的和求得;
(3)把△BOM分成兩個△OMN與△BMN,把MN作為兩個三角形的底,通過點B,P的縱坐標表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積.
解答:解:(1)由題意把點(1,-5)、(-2,4)代入y=x2+bx+c得:
,
解得b=-2,c=-4,(3分)
∴此拋物線解析式為:y=x2-2x-4;

(2)由題意得:,
∴x2-3x-4=0,
解得:x=4或x=-1(舍),
∴點B的坐標為(4,4),
將x=m代入y=x條件得y=m,
∴點N的坐標為(m,m),
同理點M的坐標為(m,m2-2m-4),點P的坐標為(m,0),
∴PN=|m|,MP=|m2-2m-4|,
∵0<m<+1,
∴MN=PN+MP=-m2+3m+4;

(3)作BC⊥MN于點C,
則BC=4-m,OP=m,
S=MN•OP+MN•BC,
=2(-m2+3m+4),
=-2(m-2+12,(11分)
∵-2<0,
∴當m-=0,則m=時,S有最大值.
點評:此題考查了待定系數法求解析式,還考查了三角形的面積,要注意將三角形分解成兩個三角形求解;
還要注意求最大值可以借助于二次函數.
練習冊系列答案
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