Question

下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點(diǎn)，OB交CE于N，連OH．下列結(jié)論中：

①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．

其中正確的命題有

1. A.
   只有①②
2. B.
   只有①②④
3. C.
   只有①④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得證．
②由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證．
③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點(diǎn)時(shí)，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）錯(cuò)誤．
過O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH于G點(diǎn)，由題意可證得三角形OGC與三角形OHB全等．
按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．
解答：解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正確；
∵四邊形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正確；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
只有當(dāng)H為BM的中點(diǎn)是，OH等于CN的一半，故③錯(cuò)誤；
④過O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH與G點(diǎn)，
在△OGC與△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作輔助線之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
綜上所述，①②④正確．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得證．
②由題意正方形中角ABO=角BCO，在上面所證∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證．
③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中點(diǎn)時(shí)，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）錯(cuò)誤．過O點(diǎn)作OG垂直于OH，OG交CH于G點(diǎn)，可證得三角形OGC與三角形OHB全等．OHG是等腰直角三角形，可證明三角形OGC與三角形OHB全等之后，CG=BH，即④式成立．