Question

已知對任意正整數n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，則

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2011-1

=______．

Answer 1

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，
∴a₁=1，a₁+a₂=8，a₁+a₂+a₃=27，a₁+a₂+a₃+a₄=64，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=125，
∴a₂=7，a₃=19，a₄=37，a₅=61，a_n=3n（n-1）+1，
∴a₂₀₁₁=3×2010×2011+1，
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+

1

a4-1

+…+

1

a2011-1

=

1

6

+

1

18

+

1

36

+

1

60

+…+

1

3×2010×2011

，
=

1

3

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

2010×2011

），
=

1

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2010

-

1

2011

），
=

1

3

（1-

1

2011

），
=

670

2011

．
故答案為：

670

2011

．