如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點D的坐標;
(2)設點E(x,y)是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動點,將△OAE繞OA的中點旋轉(zhuǎn)180°,點E落到點F的位置.求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
①當四邊形OEAF的面積為24時,請判斷四邊形OEAF的形狀.
②是否存在點E,使四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若點P是x軸上一點,以P、A、D為頂點作平行四邊形,該平行四邊形的另一頂點在y軸上,請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標.

【答案】分析:(1)已知拋物線的對稱軸,可將其解析式設為頂點式,再根據(jù)已知的兩點坐標由待定系數(shù)法確定該二次函數(shù)的解析式;進而能得到頂點D的坐標.
(2)將△OAE繞線段OA中點旋轉(zhuǎn)180°后,旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形關于點OA的中點對稱,所以四邊形OEAF是平行四邊形,在求該四邊形的面積時,只需求出它的一半即△OAE的面積即可,以OA為底、點E的縱坐標的絕對值為高即可得到△OAE的面積表達式,則S、x的函數(shù)關系式可求;
①將S=24代入上面的S、x的函數(shù)關系式中,先求出點E的坐標,再判斷四邊形OEAF的形狀;
②若四邊形OEAF是正方形,那么△OAE必為等腰直角三角形,可據(jù)此求出點E的坐標,再代入拋物線的解析式中進行驗證即可.
(3)此題需要分兩種情況討論(將平行四邊形的另一頂點稱作點Q):
①線段PA為對角線時,先求出DQ的中點,再由P、A關于這個中點對稱來得到點P的坐標;
②線段PA為邊時,那么DQ必與PA平行,即點Q、D的縱坐標相同,則DQ的長可知,而DQ=PA,可據(jù)此求出點P的坐標(注意在點A的左右兩側(cè)各有一個).
解答:解:(1)依題意,設拋物線的解析式為:y=a(x-2+h,代入A(6,0)、B(0,4)后,得:
,解得
∴拋物線的解析式:y=(x-2-,頂點D(,-).

(2)依題意,知:△OAF≌△AOE,得:OE=AF、AE=OF;
∴四邊形OEAF是平形四邊形.
∵點E(x,y)在拋物線的圖象上,
∴y=(x-2-;
又∵點E在第四象限,∴y<0,解得:1<x<6;
S=2S△OAE=2••OA•|yE|=6•(-y)=-4(x-2+25,(1<x<6).
①當S=24時,-4(x-2+25=24,解得 x1=3、x2=4;
1、當x=3時,E(3,-4),此時OE=AE,四邊形OEAF為菱形;
2、當x=4時,E(4,-4),此時OE≠AE,且∠OEA≠90°,∴四邊形OEAF只是平行四邊形.
②假設四邊形OEAF為正方形,則OE=AE,OE⊥AE,已知O(0,0)、A(6,0),則 E(3,-3);
但此時的點E不在拋物線的圖象上,因此不存在符合條件的點E.

(3)設平行四邊形的另一頂點為Q,分兩種情況討論:
①當PA為平行四邊形的對角線時,另一條對角線DQ的中點為(,0),而P、A關于(,0)對稱,那么點P(-,0);
②當PA為平行四邊形的邊時,DQ∥PA,且PA=QD=,已知 A(6,0),則 P(,0)或(,0);
綜上,點P的坐標為(-,0)或(,0)或(,0).
點評:此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形面積的求法以及特殊四邊形的判定等知識;最后一題中,正確判斷出最后一頂點的三種情況是解答題目的關鍵.
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如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4)(1)求拋物線的解析式及頂點坐標;(2)設點E(x,y)是拋物線上的一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;①當OEAF的面積為24時,請判斷OEAF是否為菱形?②是否存在點E,使OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由。

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(1)求拋物線解析式及頂點坐標;

(2)設點E()是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形.求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;

     ①當平行四邊形OEAF的面積為24時,請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?

     ②是否存在點E,使平行四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

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如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).

【小題1】求拋物線解析式及頂點坐標;
【小題2】設點E(x,y)是拋物線第四象限上一動點,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并求出自變量的取值范圍
【小題3】若S=24,試判斷OEAF是否為菱形。
【小題4】若點E在⑴中的拋物線上,點F在對稱軸上,以O、E、A、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形,若能,求出點E、F的坐標;若不能,請說明理由。(第⑷問不寫解答過程,只寫結(jié)論)

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(1)求點B的坐標;

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如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).

1.求拋物線解析式及頂點坐標;

2.設點E(x,y)是拋物線第四象限上一動點,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式,并求出自變量的取值范圍

3.若S=24,試判斷OEAF是否為菱形。

4.若點E在⑴中的拋物線上,點F在對稱軸上,以O、E、A、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形,若能,求出點E、F的坐標;若不能,請說明理由。(第⑷問不寫解答過程,只寫結(jié)論)

 

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