Question

（2002•紹興）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE，BC的延長線相交于點F，若AE=10，則S_△ADE+S_△CEF的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，首先把梯形補成正方形，然后把△BEC旋轉到△BMN的位置，根據它們條件容易證明：△ANB和△ABE全等，這樣AE=AD=10，設CE=x，然后用x表示AM，AD，DE在根據△ADE是直角三角形利用勾股定理建立關于x的方程，解方程求出x，就可以求出S_△ADE+S_△CEF的值．
解答：解：如圖，延長DA，過B作BM⊥DA，交其延長線于M．
∴到四邊形DCBM是正方形，
∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋轉到△BMN的位置，
∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN
∵∠ABE=45°
∴∠EBC+∠ABM=90°-45°=45°
∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共
∴△ABN≌△ABE
∴AN=AE=10，設CE=x，那么MN=x，DE=CD-CE=12-x，AM=10-x，AD=12-AM=2+x，
在Rt△ADE中：AD²+DE²=AE²
∴（2+x）²+（12-x）²=10²
∴x₁=4，x₂=6，
當x=4時，CE=4，DE=8，AD=6
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴CF=3，
∴S_△ADE+S_△CEF=30；
當x=6時，CE=6，DE=6，AD=8
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE
∴
∴CF=8
∴S_△ADE+S_△CEF=48．
故S_△ADE+S_△CEF的值是 30或48．
故答案為：30或48．
點評：此題首先作輔助線把梯形的問題轉化成正方形的問題，然后利用旋轉方法解題，最后利用相似三角形的性質和勾股定理求AD、CE、DE，從而求題目的面積之和．