Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）當(dāng)α=60°時，求CE的長；

（2）當(dāng)60°＜α＜90°時，

①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

②連接CF，當(dāng)CE2-CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 5；(2) k=3，.

【解析】

試題分析：（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解；

（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明△AFG和△DFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解；

②設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

試題解析：（1）∵=60°，BC=10，

∴sin=，

即sin60°=，解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：

連接CF并延長交BA的延長線于點G，

∵F為AD的中點，

∴AF=FD，

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，

在△AFG和△DFC中，

，

∴△AFG≌△DFC，

∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，

∴EF=GF，

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，

∴AG=5，AF=AD=BC=5，

∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G，

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x，

∵由①知CF=GF，

∴CF2=（CG）2=CG2=（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-）2+50+，

∴當(dāng)x=，即點E是AB的中點時，CE2-CF2取最大值，此時，EG=10-x=10-=，

CE=，

所以，tan∠DCF=tan∠G=

考點: 1.平行四邊形的性質(zhì)；2.二次函數(shù)的最值；3.勾股定理.