Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：是直角三角形；
（3）若點(diǎn)在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)，試探究是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式
（2）可證明,即有△ACB是直角三角形
（3）存在合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（），（）

解析試題分析：解: ∵二次函數(shù)的圖象

過點(diǎn)A(－4,3),B(4,4)，

∴ 
（2）易知C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0), D的坐標(biāo)為（），  
過B作BM軸于點(diǎn)M,     ∴,        
類似的可得， ,
∴,即有△ACB是直角三角形.  
（3）存在以P、H、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.  
設(shè)P的坐標(biāo)為（），易得，則， 
①當(dāng)時(shí), ∽，
即，    ∴ .
而，∴.
∵，，∴，
解得，則，P點(diǎn)的坐標(biāo)為() 
②當(dāng)時(shí), ∽，
即，∴ .
而，∴.
同理可得：解得，則，P點(diǎn)的坐標(biāo)為()
故合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（），（）.  
考點(diǎn)：拋物線及相似三角形綜合應(yīng)用
點(diǎn)評：本題難度較大，主要考查學(xué)生對拋物線及相似三角形綜合應(yīng)用能力。為中考常考題型，解決拋物線問題時(shí)注意分析已知點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)式關(guān)系為解題關(guān)鍵。