如圖1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是邊AB上的動點(M不與A,B重合),MN∥BC交AC于點N,△AMN關于MN的對稱圖形是△PMN.設AM=x.
(1)用含x的式子表示△AMN的面積(不必寫出過程);
(2)當x為何值時,點P恰好落在邊BC上;
(3)在動點M的運動過程中,記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y,試求y關于x的函數(shù)關系式;并求x為何值時,重疊部分的面積最大,最大面積是多少?

【答案】分析:(1)因為MN∥BC,所以△AMN∽△ABC,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得MN的值與MN邊上的高的值,即可求得面積;
(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì),可求得相等的線段與角,可得點M是AB中點,即當x=AB=2時,點P恰好落在邊BC上;
(3)分兩種情況討論:①當0<x≤2時,易見y=x2.(8分)
②當2<x<4時,如圖3,設PM,PN分別交BC于E,F(xiàn)
由(2)知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求得.
解答:解:(1)S△AMN=x2(3);

(2)如圖2,由軸對稱性質(zhì)知:AM=PM,∠AMN=∠PMN,(4分)
又MN∥BC,∴∠PMN=∠BPM,∠AMN=∠B,(5)
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM(6分)
∴點M是AB中點,即當x=AB=2時,點P恰好落在邊BC上.(7分)

(3)(i)以下分兩種情況討論:
①當0<x≤2時,易見y=x2(8分)
②當2<x<4時,如圖3,設PM,PN分別交BC于E,F(xiàn)
由(2)知ME=MB=4-x,
∴PE=PM-ME=x-(4-x)=2x-4
由題意知△PEF∽△ABC,
,


∴y=
(ii)∵當0<x≤2時,y=x2
∴易知y最大=(11分)
又∵當2<x<4時,y=x2+6x-6=(x-2+2.
∴當時(符合2<x<4),y最大=2,(12分)
綜上所述,當時,重疊部分的面積最大,其值為2.(13分)

點評:此題考查了折疊問題,要注意對應的線段對應的角相等,此題還考查了相似三角形的性質(zhì),解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D是邊BC的中點.以BD為直徑作圓O,交邊AB于點P,連接PC,交AD于點E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當∠BAC=90°時,求證:
PE
CE
=
1
2
;
(3)如圖2,當PC是圓O的切線,E為AD中點,BC=8,求AD的長.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:
(1)寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
(2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D在BC上,且CD=CA,點E、F分別為BC、AD的中點,連接EF并延長交AB于點G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;
(3)如圖2,若點D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個四邊形,不必證明;若不存在,請說精英家教網(wǎng)明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知:如圖1,在四邊形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求證:AB+AC>
BC2+CD2
;
(2)已知:如圖2,在△ABC中,AB上的高為CD,試判斷(AC+BC)2與AB2+4CD2之間的大小關系,并證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點D是垂足,點E是BC的中點,規(guī)定:λA=
DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當∠ABC=90°時,且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關系,并加以證明.

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