Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(-1，0)和點B(1，0)，直線與y軸交于點C，與拋物線交于點C，D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點A到直線CD的距離；

（3）平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G，P，Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標.

Answer 1

（1）

解：在中，令，得

.

∴C(0，-1)

∵拋物線與x軸交于A(-1，0), B(1，0),

∴C為拋物線的頂點.

設拋物線的解析式為，

將A(-1，0)代入，得 0=a-1.

∴a=1.

∴拋物線的解析式為.

（2）（本小問5分）

方法一：

設直線與x軸交于E，

則，0).

∴,

.

連接AC，過A作AF⊥CD，垂足為F，

S_△CAE ，

即，

∴.

方法二：由方法一知，

∠AFE=90°，，.

在△COE與△AFE中，

∠COE=∠AFE=90°，

∠CEO=∠AEF，

∴△COE∽△AFE .

∴，

即.

∴.

（3）（本小問5分）

由，得，.

∴D(2，3).

如圖1，過D作y軸的垂線，垂足為M，

由勾股定理，得

.

在拋物線的平移過程中，PQ=CD.

（i）當PQ為斜邊時，設PQ中點為N，G(0，b)，

則GN=.

∵∠GNC=∠EOC=90°，∠GCN=∠ECO，

∴△GNC ∽△EOC．

∴，

∴，

∴b=4.

∴G(0，4) .  

（ii）當P為直角頂點時，

設G(0，b)，

則，

同（i）可得b=9，

則G(0，9) .

（iii）當Q為直角頂點時，

同（ii）可得G(0，9) .

綜上所述，符合條件的點G有兩個，分別是(0，4)，(0，9).