Question

在平面直角坐標系中，已知兩點坐標P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂）我們就可以使用兩點間距離公式P1P2=

(x1-x2)2+(y1-y 2)2

來求出點P₁與點P₂間的距離．如：已知P₁（-1，2），P₂（0，3），則P1P2=

(-1-0)2+(2-3)2

=

2

．
通過閱讀材以上材料，請回答下列問題：
（1）已知點P₁坐標為（-1，3），點P₂坐標為（2，1）
①求P₁P₂=

13

；
②若點Q在x軸上，則△QP₁P₂的周長最小值為

6+

13

．
（2）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為長方形，點A、B的坐標分別為
（4，0）（4，3），動點M、N分別從點O，點B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中M點沿OA向終點A運動，N點沿BC向終點C運動，過點N作NF⊥BC交AC于F，交AO于G，連結(jié)MF．
當兩點運動了t秒時：
①直接寫出直線AC的解析式：

y=-

3

4

x+3

；
②F點的坐標為（

4-t

，

3

4

t

）；（用含t的代數(shù)式表示）
③記△MFA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（0＜t＜4）；
④當點N運動到終點C點時，在y軸上是否存在點E，使△EAN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①利用兩點之間的距離公式即可直接求解；
②利用兩點之間的距離公式求得OA1和OA2的長度，結(jié)合①即可求得三角形的周長；
（2）①利用矩形的性質(zhì)易求點C的坐標．利用待定系數(shù)法可以求得直線AC的方程；
②由平行線分線段成比例得到

FG

OC

=

AG

OA

來求GF的長度，從而易求點F的坐標；
③由三角形的面積公式得到S=

1

2

AM•FG；
④需要分類討論：AN=AE，NE=AN和AE=NE三種情況．

解答：解：（1）①P₁P₂=

(2+1)2+(1-3)2

=

13

；

②P₁坐標關(guān)于x軸的對稱點是

P

′ 1

（-1，-3），設(shè)直線

P

′ 1

P₂的解析式是y=kx+b（k≠0），
根據(jù)題意得：

-k+b=-3 2k+b=1

，
解得：

k=- 4 3 b= 11 3

，
則直線的解析式是：y=-

4

3

x+

11

3

，
在解析式中令y=0，解得：x=

11

4

，
則Q的坐標是：（

11

4

，0），
則QP₁+QP₂=

P

′ 1

P₂=

(2+1)2+(1+4)2

=

9+25

=6，
則△QP₁P₂的周長最小值是：6+

13

；
故填：6+

13

；

（2）①如圖，四邊形ABCO是矩形，點A、B的坐標分別為（4，0）、（4，3），則C（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b（k≠0），則

4k+b=0 b=3

，
解得，

k=- 3 4 b=3

，
所以直線AC的解析式為：y=-

3

4

x+3；
故填：y=-

3

4

x+3；

②∵NF⊥BC，四邊形ABCO是矩形，
∴NG∥OC，BN=AG，
∴

FG

OC

=

AG

OA

，即

FG

3

=

t

4

，
∴FG=

3

4

t，
∴F（4-t，

3

4

t）；

③如圖，S=

1

2

AM•FG=

1

2

（4-t）×

3

4

t=-

3

8

t²+

3

2

t（0＜t＜4）；

④∵A（4，0），C（0，3），點N與點C重合，
∴ON=3，OA=4，
∴由勾股定理得到AN=5．
如圖，當AN=AE時，易求ON=OE=3，則E₁（0，-3）；
當NE=AN時，OE=5-3=2，則E₂（0，-2）；
當AE=NE時，設(shè)E₃（0，t），則（t-3）²=4²+t²
解得，t=

7

6

，
∴E₃（0，

7

6

）；
綜上所述，符合條件的點E的坐標分別是：E₁（0，-3），E₂（0，-2），E₃（0，

7

6

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積計算，矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．解（3）④題時，要分類討論．