Question

已知，如圖，點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)F（-2，0），直線BF與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若拋物線圖象頂點(diǎn)為C（1，0），
（1）求直線BF與拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），過(guò)P做x軸垂線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE長(zhǎng)為h，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x取值范圍；
（3）D為線段AB與二次函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在（3）中，線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，把B（0，1），F(xiàn)（-2，0）代入得，b=1，-2k+b=0，解得k=，b=1，
∴直線BF的解析式為y=x+1；
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x-1）²，把B（0，1）代入得，1=a（0-1）²，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²=x²-2x+1；
（2）∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)P在直線AB上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為x+1，
又∵PE⊥x軸，
∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為x，
而點(diǎn)E在拋物線y=x²-2x+1上，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為x²-2x+1，
∴PE=h=x+1-（x²-2x+1），
即h=-x²+x，
解方程組得，，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴x的取值范圍為0＜x＜，
∴h與x之間的函數(shù)關(guān)系式為h=-x²+x（0＜x＜）；
（3）存在．理由如下：
∵D為線段AB與二次函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)，而頂點(diǎn)為C（1，0），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，），
∴DC=，
又∵四邊形DCEP為平行四邊形，
∴DC=PE=h，
∴-x²+x=，解得x₁=1，x₂=，
當(dāng)x=時(shí)，y=x+1=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；
（4）存在．理由如下：
如圖，作PG⊥DC與G，EH⊥DC與H，
∵P（x，x+1），E（x，x²-2x+1），
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，x+1），H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，x²-2x+1），
又∵四邊形DCEP為等腰梯形，
∴DG=CH，
∴-（x+1）=x²-2x+1，解得x₁=1，x₂=，
當(dāng)x=時(shí)，y=x+1=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x-1）²，利用待定系數(shù)法分別確定它們的解析式；
（2）由點(diǎn)P在直線AB上，則P（x，x+1），而PE⊥x軸，得E（x，x²-2x+1），則PE=h=x+1-（x²-2x+1）；解方程組可得到A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可確定x的取值范圍；
（3）先得到點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，），即DC=，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DC=PE=h，即-x²+x=，求出x，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）作PG⊥DC與G，EH⊥DC與H，由P（x，x+1）和E（x，x²-2x+1）可得到G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，x+1），H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，x²-2x+1），根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得-（x+1）=x²-2x+1，解方程求出x則易得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)式以及點(diǎn)在圖象上則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式．也考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì)、一元二次方程的解法．