如圖,直角梯形BCDF中,∠BCD=90°,BC∥FD,CA⊥BD于A,點E在FD上,且BF=BE,∠BEA=∠ACD,下列結(jié)論:
①∠ACD=∠CBD;②∠FBC+∠CBE=180°;③DE+DF=2BC;④BC=BE.
其中正確的個數(shù)為


  1. A.
    1個
  2. B.
    2個
  3. C.
    3個
  4. D.
    4個
D
分析:根據(jù)∠ACD+∠BCA=90°和∠CBD+∠BCA=90°即可推出∠ACD=∠CBD;根據(jù)∠FBC+∠F=180°和∠F=∠BEF=∠CBE推出即可;過B作BH⊥DF于H,求出BC=DH,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出FH=HE,即可得出DE+DF=2BC;證△BAC∽△BCD和△BEA∽△BDE,得出比例式,即可得出BC2=BE2=BA×BD,即可得出BC=BE.
解答:解:∵∠BCD=90°,
∴∠ACD+∠BCA=90°,
∵CA⊥BD,
∴∠BAC=90°,
∴∠CBD+∠BCA=90°,
∴∠ACD=∠CBD,
∴①正確;
∵BC∥FD,
∴∠CBE=∠BEF,∠F+∠FBC=180°,
∵BF=BE,
∴∠F=∠BEF,
∴∠FBC+∠CBE=180°,
∴②正確;
過點B作BH⊥EF于點H,
∵BF=BE,
∴EH=FH,
∵直角梯形BCDF中,∠BCD=90°,BC∥FD,
∴四邊形BCDH是矩形,
∴BC=DH=EH+DE,
∴DE+DF=DH+FH+DE=DH+DH=BC+BC=2BC,
∴③正確;
∵∠BCD=90°,CA⊥BD,
∴∠CAB=∠CAD=∠BCD=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°,∠DCA+∠CDB=90°,
∴∠DCA=∠CBD,
∵BC∥DF,
∴∠CBD=∠BDE,
∵∠AEB=∠DCA,
∴∠BDE=∠BEA,
∵∠EBA=∠DBA,
∴△BEA∽△BDE,
=,
∴BE2BA×BD,
∵∠CBA=∠CBD,∠CAB=∠DCB,
∴△BAC∽△BCD,
=
∴BC2=BA×BD,
∴BE2=BC2,
∴BE=BC,∴④正確;
故選D.
點評:此題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及三角函數(shù)的定義.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E為梯形內(nèi)一點,且∠BEC=90°,將△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°使B與D重合,得到△DCF,連EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,則DM:MC的值為
 

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20、如圖,直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,底邊AB=5,高AD=3,點E由B沿折線BCD向點D移動,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,設(shè)BM=x,矩形AMEN的面積為y,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( 。

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(1)求證:BC=CD;
(2)在邊AB上找點E,連接CE,將△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF.連接EF,如果EF∥BC,試畫出符合條件的大致圖形,并求出AE:EB的值.

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6、如圖:直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,M是AB上一點,且MC、MD分別是∠BCD,∠CDA的平分線,若AD=1,BC=3,CD的長為
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①∠ACD=∠CBD;②∠FBC+∠CBE=180°;③DE+DF=2BC;④BC=BE.
其中正確的個數(shù)為( 。

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