Question

一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0，
（1）m為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？
（2）m為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程的一個(gè)根為零？
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)時(shí)，x₁+x₂=

m-1

8

=0，通過解此方程可以求得m的值；
（2）當(dāng)方程的一根是零時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁•x₂=0，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，通過解方程即可求得m的值；
（3）當(dāng)方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁•x₂=1，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，通過解方程即可求得m的值；然后通過根的判別式進(jìn)行判斷是否存在這樣的實(shí)數(shù)m．

解答：解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個(gè)根互為相反數(shù)，
∴x₁+x₂=

m-1

8

=0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一個(gè)根為零，
∴x₁•x₂=

m-7

8

=0，
解得m=7；

（3）設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則
x₁•x₂=

m-7

8

=1，
解得m=15；
則原方程為4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程無解，這與存在實(shí)數(shù)m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有兩個(gè)根相矛盾．故不存在這樣的實(shí)數(shù)m．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、倒數(shù)與相反數(shù)的定義以及根的判別式．一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的m的取值受根的判別式的符號(hào)的限制．