Question

（2013•蒼梧縣一模）如圖，拋物線y=-

3

8

x2-

3

4

x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；
（3）在過點E（4，0）的真線上是否存在這樣的點M，使得∠AMB為直角？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標(biāo)；
（2）求出點C的坐標(biāo)，然后求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積，再求出直線AC的解析式，根據(jù)拋物線的解析式求出對稱軸，設(shè)對稱軸與直線AC相交于H，根據(jù)S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，列式求出DH的長，再分點D在AC的上方與下方兩種情況討論求出點D的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，過點E的直線與⊙F的切點即為所求的點M，連接FM，過點M作MN⊥x軸于N，先求出EF、FN再根據(jù)勾股定理列式求出ME，然后根據(jù)△FMN和△FEM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出MN、FN，再求出ON，再分點M在x軸上方與下方兩種情況寫出點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，則-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴點A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，則y=3，
所以，點C的坐標(biāo)為（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×3=9，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-4k+b=0 b=3

，
解得

k= 3 4 b=3

，
所以，直線AC的解析式為y=

3

4

x+3，
拋物線的對稱軸為直線x=-

- 3 4

2×(- 3 8 )

=-1，
所以，x=-1時，y=（-1）×

3

4

+3=

9

4

，
設(shè)對稱軸與直線AC相交于H，
則點H的坐標(biāo)為（-1，

9

4

），
∵△ACD的面積等于△ACB的面積，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=

1

2

DH×4=9，
解得DH=

9

4

，
點D在AC的上方時，

9

4

+

9

4

=

9

2

，
此時點D的坐標(biāo)為（-1，

9

2

），
點D在AC的下方時，

9

4

-

9

2

=-

9

4

，
此時，點D的坐標(biāo)為（-1，-

9

4

），
綜上所述，△ACD的面積等于△ACB的面積時，點D的坐標(biāo)為（-1，

27

4

）或（-1，-

9

4

）；

（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，
則過點E的直線與⊙F的切點即為所求的點M，
如圖，連接FM，過點M作MN⊥x軸于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴點F（-1，0），
FM=

1

2

×6=3，EF=4+1=5，
根據(jù)勾股定理，ME=

EF2-FM2

=

52-32

=4，
易得△FMN∽△FEM，
∴

MN

ME

=

FN

FM

=

FM

EF

，
即

MN

4

=

FN

3

=

3

5

，
解得MN=

12

5

，F(xiàn)N=

9

5

，
∴ON=FN-OF=

9

5

-1=

4

5

，
∴點M在x軸上方時，點M的坐標(biāo)為（

4

5

，

12

5

），
點M在x軸下方時，點M的坐標(biāo)為（

4

5

，-

12

5

），
綜上所述，點M的坐標(biāo)為（

4

5

，

12

5

）或（

4

5

，-

12

5

）．

點評：本題考查了關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識的綜合運用．難點在于第（3）問中對于∠AMB為直角的理解，這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決．本題難度較大，需要同學(xué)們對所學(xué)知識融會貫通、靈活運用．