Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB =2∠EAB．

（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若，，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切線，見解析；（2）

【解析】

（1）首先證明∠ACB =∠BAD，然后根據圓周角定理的推論得出∠ACB +∠CAD=90°，則有∠BAD+∠CAD=90°，所以BA⊥AC，則可證明AC是⊙O的切線；

（2）過點F做FH⊥AB于點H．首先通過角平分線的性質得出FH=FD，且FH∥AC，然后利用銳角三角函數(shù)求出CD,BD的長度，然后設 DF=x，則FH=x，，最后利用建立關于x的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）AC是⊙O的切線

理由:如圖，連接AD．

∵ E是中點，

∴．

∴ ∠DAE=∠EAB．

∵ ∠ACB =2∠EAB，

∴∠ACB =∠BAD．

∵ AB是⊙O的直徑，

∴ ∠ADB=∠ADC=90°，

∴ ∠ACB +∠CAD=90°，

∴ ∠BAD+∠CAD=90°．

即 BA⊥AC．

∴ AC是⊙O的切線．

（2）解：如圖，過點F做FH⊥AB于點H．

∵ AD⊥BD，FH⊥AB，∠DAE=∠EAB，

∴ FH=FD，且FH∥AC．

在Rt△ADC中，

∵，，

∴ CD=6．

同理，在Rt△BAC中，可求得．

∴．

設 DF=x，則FH=x，．

∵ FH∥AC，

∴ ∠BFH=∠ACB．

∴．

即．

解得x=2，

經檢驗，x=2是原分式方程的解，

∴．