如圖①是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題如圖②,已知鐵環(huán)的半徑為25cm,設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為F,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)的接觸點(diǎn)為A,鐵環(huán)鉤與手的接觸點(diǎn)是B,鐵環(huán)鉤AB長75cm,BG表示點(diǎn)B距離地面的高度.

(1)當(dāng)鐵環(huán)鉤AB與鐵環(huán)相切時(shí)(如圖③),切點(diǎn)A離地面的高度AM為5cm,求水平距離FG的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O同一水平高度時(shí)(如圖④),鐵環(huán)容易向前滾動,現(xiàn)將如圖③鐵環(huán)鉤的一端從A點(diǎn)提升到與O點(diǎn)同一水平高度的C點(diǎn),鐵環(huán)鉤的另一端點(diǎn)從點(diǎn)B上升到點(diǎn)D,且水平距離FG保持不變,求BD的長(精確到1cm).
【答案】分析:(1)由矩形的性質(zhì)可求出OH,再由勾股定理得出AH,則△OHA∽△AIB,得,代數(shù)數(shù)值即可求得答案;
(2)由四邊形OFGP是矩形,得出CP,在Rt△CPD中,由勾股定理得出DP,在Rt△AIB中,再由三角函數(shù)的定義得出IB,從而得出BD的長.
解答:解:(1)如圖四邊形HFGI,HFMA是矩形,
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20,
∴在Rt△OHA中,,

方法一∵AB是圓的切線,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,又∠OHA=∠AIB=90°,
∴△OHA∽△AIB,得
,得AI=60(2分),
FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm);
方法二:∵AB是圓的切線,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,∴,
在Rt△ABI中,,
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm)

(2)如圖,四邊形OFGP是矩形,CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50,
Rt△CPD中,
Rt△AIB中,
BG=BI+AM=45+5=50,DG=DP+OF=55.90+25=80.90,
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31(cm).
點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用,是中考壓軸題,難度偏大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1、2,圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5cm),設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=
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(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM(單位:厘米);
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位,求鐵環(huán)鉤MF的長度(單位:厘
精英家教網(wǎng)米).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:河北省唐山市路北2010屆初三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題 題型:044

如圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5 cm),設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=

(1)求M點(diǎn)離地面AC的高度BM(單位:厘米);

(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位,求鐵環(huán)鉤MF的長度(單位:厘米).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省廣州市初三中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(2007•中山)如圖1、2,圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5cm),設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=
(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM(單位:厘米);
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位,求鐵環(huán)鉤MF的長度(單位:厘
米).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)模擬檢測(5)(解析版) 題型:解答題

(2007•中山)如圖1、2,圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5cm),設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=
(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM(單位:厘米);
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位,求鐵環(huán)鉤MF的長度(單位:厘
米).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年河南省中招數(shù)學(xué)模擬試卷(2)(解析版) 題型:解答題

(2007•中山)如圖1、2,圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位(每個(gè)單位為5cm),設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M,鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A,∠MOA=α,且sinα=
(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM(單位:厘米);
(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個(gè)單位,求鐵環(huán)鉤MF的長度(單位:厘
米).

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