Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）•=8-t，再利用三角形面積解得t即可．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=-x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒），
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．
所以=，
解得t=（秒）；
∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△APQ與△AOB相似；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．
在Rt△AOB中，sin∠BAO==，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10-2t）•=8-t，
S_△APQ=AP•QE=t•（8-t），
=-t²+4t=，
解得t=2（秒）或t=3（秒）．
∴當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于難題．