Question

如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點(diǎn)，NP平分∠MNQ．
（1）求證：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半徑R=3，NP=，求NQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，則OP⊥PQ，然后證明OP∥NQ即可；
（2）連接MP，在直角△MNP中，利用三角函數(shù)求得∠MNP的度數(shù)，即可求得∠PNQ的值，然后在直角△PNQ中利用三角函數(shù)即可求解．
解答：（1）證明：連接OP．
∵直線PQ與⊙O相切于P點(diǎn)，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠OPN=∠ONP，
又∵NP平分∠MNQ，
∴∠OPN=∠PNQ，
∴OP∥NQ
∴NQ⊥PQ；

（2）解：連接MP．
∵M(jìn)N是直徑，
∴∠MPN=90°，
∴cos∠MNP===，
∴∠MNP=30°，
∴∠PNQ=30°，
∴直角△PNQ中，NQ=NP•cos30°=3×=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)，正確利用三角函數(shù)求得∠MNP的度數(shù)是關(guān)鍵．