Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分別是BA、BC的中點，則下列結論正確的是________
①△ABC是等腰三角形　　　 ②四邊形EFAM是菱形
③S_△BEF=S_△ACD　　　 ④DE平分∠CDF．

Answer 1

①②③
分析：連接AE，得到BE=CE，再由BC=2AD，可得出AD=BE=CE，根據平行四邊形的判定推出四邊形ABED與四邊形AECD都為平行四邊形，再由∠BCD=90°得出四邊形AECD為矩形，得出AE垂直平分BC，推出AB=AC，即可判斷①；由EF為△ABC的中位線，利用中位線定理得到EF∥AC，進而得到四邊形AFEM為平行四邊形，求出AF=EF，可得出四邊形AFEM為菱形，即可判斷②；過F作FN⊥BC，得出FN∥AE，得出FN為△ABE的中位線，FN為DC的一半，再由BE=AD，根據三角形的面積公式求出，即可判斷③．
解答：解答：連接AE，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=BC，
又∵BC=2AD，
∴AD=BE=EC，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形，四邊形AECD為平行四邊形，
又∵∠DCB=90°，
∴四邊形AECD為矩形，
∴∠AEC=90°，
即AE⊥BC，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形，∴①正確；
∵E為BC的中點，F為AB的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AC，EF=AC，
∵F為AB中點，
∴AF=AB，
∵AB=AC，
∴EF=AF，
又∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴AF∥ME，
∵EF∥AC，
∴四邊形AFEM為平行四邊形，
∴四邊形AFEM為菱形，∴②正確；
過F作FN⊥BC于N點，
則FN∥AE，
又∵F為AB的中點，
∴N為BE的中點，
∴FN為△ABE的中位線，
又∵AE=DC，BE=AD，
∴S_三角形BEF=BE×FN=×CD×AD，S_三角形ACD=AD×CD，
∴S_△BEF=S_△ACD，∴③正確；
∵根據已知不能推出DE平分∠CDF，∴④錯誤；
故答案為：①②③．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，矩形的性質和判定，菱形的判定，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積公式，線段的垂直平分線等知識點的綜合運用，綜合性比較強，有一定的難度．