Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊BD、AC的中點．
（1）求證：MN⊥AC；
（2）當AC=8cm，BD=10cm時，求MN的長．

Answer 1

（1）證明：連接AM、MC．
在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是邊BD的中點，
∴AM=MC=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；
∵N是AC的中點，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵AC=8cm，BD=10cm，M、N分別是邊BD、AC的中點．
∴AM=5cm，AN=4cm；
在Rt△AMN中，MN==3cm（勾股定理）．
分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定AM=MC=BD，從而推知N點是AC邊上的中點，所以MN是AC的中垂線；
（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的長．
點評：本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．解題時，通過作輔助線AM、MC構(gòu)建了直角三角形斜邊上的中線，然后利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來解答問題．