Question

如圖6，用水平線與豎直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形格子，點(diǎn)O、A、B均在正方形格子的頂點(diǎn)(格點(diǎn))處，其中點(diǎn)O與點(diǎn)A位于同一水平線上，相距a格，點(diǎn)O與點(diǎn)B位于同一豎直線上，相距b格.

(1)若a=5，b=4，則△OAB中(包括三條邊)共有多少個(gè)格點(diǎn)？

(2)若a，b互質(zhì)，則在線段AB上(不包括A、B兩點(diǎn))是否有格點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

(3)若a，b互質(zhì)，且a＞b＞8，△OAB中(包括三條邊)共有67個(gè)格點(diǎn)，求a，b的值.

Answer 1

(1)如圖2，a=5，b=4，△OAB中(包括三條邊)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+6=16.

　(2)若a，b互質(zhì)，假設(shè)線段AB上存在某一點(diǎn)P(恰為格點(diǎn))，可設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的水平距離為x，豎直距離為y(x，y均為整數(shù))，則

　　S_△AOB= S_△AOP+S_△BOP=ay+bx，

　　所以ab=ay+bx，

　　即ab=ay+bx，ay=b(a-x).

　　因?yàn)閍，b互質(zhì)，

　　所以a-x是a的倍數(shù)，它與a-x＜a矛盾，

　　因此，假設(shè)不正確，即線段AB上(除A、B兩點(diǎn)外)不存在其它格點(diǎn).

(3)由(2)知，線段AB上(除A、B兩點(diǎn)外)不存在其它的格點(diǎn).

　　以O(shè)A、OB為邊作一個(gè)矩形OACB，則在△CAB中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)與△OAB中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，且只有A、B兩點(diǎn)是公共的，而矩形OACB中格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(a+1)(b+1).

因此，(a+1)(b+1)+2=2×67=134，

　　(a+1)(b+1)=132=2×2×3×11.

　　由a＞b＞8，得a+1=12，b+1=11，

　　即a=11，b=10.