Question

有一根直尺的短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖①，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合； 將直尺沿AB方向平移（如圖②），設(shè)平移的長度為xcm（ 0≤x≤10 ），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm²．
（1）當(dāng)x=0時（如圖①），S=

 

；
（2）當(dāng)0＜x≤4時（如圖②），求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)4＜x＜6時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0時，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面積為

1

2

×2×2=2．
（2）當(dāng)0＜x≤4時，F(xiàn)在AC上運動（包括與C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均為等腰直角三角形，因此DG=x，EF=x+2，可根據(jù)梯形的面積公式求出此時S，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)4＜x＜6時，F(xiàn)在BC上運動（與B、C不重合），當(dāng)G在AC上，F(xiàn)在BC上運動時，即當(dāng)4＜x＜6時，重合部分是五邊形CGDEF，可用三個等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面積差來求得．
（4）根據(jù)（3）可得出關(guān)于S，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由題意可知：
當(dāng)x=0時，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AE=EF=2，
則陰影部分的面積為：S=

1

2

×2×2=2；
故答案為：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S_梯形DEFG=

1

2

（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2；

（3）①當(dāng)4＜x＜6時（圖1），
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
則S_△ADG=

1

2

AD•DG=

1

2

x²，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
而S_△ABC=

1

2

×12×6=36，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
∴S=36-

1

2

x²-

1

2

（10-x）²=-x²+10x-14，
S=-x²+10x-14=-（x-5）²+11，
∴當(dāng)x=5，（4＜x＜6）時，S_最大值=11．

（4）S_最大值=11．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識．同時還有三角形的面積及不規(guī)則圖形的面積計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，表示出線段之間的關(guān)系．