Question

【題目】如圖，以x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），作直線AC．

（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且到直線AC和x軸的距離相等，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，求m的值；
（3）點(diǎn)M在y軸上且位于點(diǎn)C上方，點(diǎn)N在直線AC上，點(diǎn)Q為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn)C、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B（﹣1，0）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，

∴A（3，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，4）代入得a1（﹣3）=4，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣3），即y=﹣ x2+ x+4；

（2）

解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+p，

把A（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4；

令對(duì)稱(chēng)軸與直線AC交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，作PH⊥AD于H，如圖1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣ x+4= ，則D（1， ），

∴DE= ，

在Rt△ADE中，AD= = ，

設(shè)P（1，m），則PD= ﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，

∴△DPH∽△DAE，

∴ = ，即 = ，解得m=1或m=﹣4，

即m的值為1或﹣4；

（3）

解：設(shè)Q（t，﹣ t2+ t+4）（0＜t＜4），

當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，四邊形CQMN為菱形，如圖2，則點(diǎn)N和Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴N（﹣t，﹣ t2+ t+4），

把N（﹣t，﹣ t2+ /span> t+4）代入y=﹣ x+4得 t+4=﹣ t2+ t+4，解得t1=0（舍去），t2=1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）；

當(dāng)CM為菱形的邊時(shí)，四邊形CNQM為菱形，如圖3，則NQ∥y軸，NQ=NC，

∴N（t，﹣ t+4），

∴NQ=﹣ t2+ t+4﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

而CN2=t2+（﹣ t+4﹣4）2= t2，即CN= t，

∴﹣ t2+4t= t，解得t1=0（舍去），t2= ，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1， ）或（ ， ）．

【解析】（1）先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到A（3，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；（2）先利用待定系數(shù)法其出直線AC的解析式為y=﹣ x+4；令對(duì)稱(chēng)軸與直線AC交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，作PH⊥AD于H，如圖1，易得D（1， ），利用勾股定理計(jì)算出AD= ，設(shè)P（1，m），則PD= ﹣m，PH=PE=|m|，證明△DPH∽△DAE，利用相似比得到 = ，然后解方程可得到m的值；（3）設(shè)Q（t，﹣ t2+ t+4）（0＜t＜4），討論：當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，四邊形CQMN為菱形，如圖2，根據(jù)菱形的性質(zhì)判定點(diǎn)N和Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則N（﹣t，﹣ t2+ t+4），然后
把N（﹣t，﹣ t2+ t+4）代入y=﹣ x+4得t的方程，從而解方程求出t得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)CM為菱形的邊時(shí)，四邊形CNQM為菱形，如圖3，利用菱形的性質(zhì)得NQ∥y軸，NQ=NC，則N（t，﹣ t+4），所以NQ=﹣ t2+4t，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出CN= t，所以﹣ t2+4t= t，從而解方程求出t得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．