Question

一個正方形和一個正六邊形的外接圓半徑相等，則此正方形與正六邊形的面積之比為

4

3

：9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出圓的半徑，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：設(shè)圓的半徑為R，
如圖1，
連接OB、OC，過O作OE⊥BC于E，
則△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=

2

2

R，
故BC=

2

R；
如圖2，
連接OA、OB，過O作OG⊥AB，
則△OAB是等邊三角形，
故AG=OA•cos60°=

1

2

R，AB=2AG=R，
∴OG=

3

2

R，
∴此正方形的面積為：

2

R×

2

R=2R²，
正六邊形的面積為：6×

1

2

×R×

3

2

R=

3 3

2

R²，
∴此正方形與正六邊形的面積之比為：2R²：

3 3

2

R²=4

3

：9．
故答案為：4

3

：9．

點評：本題考查的是圓內(nèi)接正方形及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．