Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-

3

交x軸于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，且CD∥AB，對(duì)稱軸直線l交x軸于點(diǎn)M，連結(jié)CM，將∠CMB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的兩邊分別交直線BC、直線CD于點(diǎn)E、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，射線MF與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)是______；
（3）若ME=

13

CF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）因?yàn)閽佄锞�過(guò)A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴

0=9a-3b- 3 0=a+b- 3

，
解得：

a= 3 3 b= 2 3 3

，
∴y=

3

3

x2+

2

3

3

x-

3

；

（2）∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠BMC=∠EMF=60°，
當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，
∴∠BME=∠CME=30°，
∴∠FMC=30°，
∴MF是拋物線的對(duì)稱軸，
∴射線MF與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
∵y=

3

3

x2+

2

3

3

x-

3

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-1，-

4

3

3

)，

（3）∵OA=3，OB=1，OC=

3

，
∴

OB

OC

=

OC

OA

=

1

3

，
又∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC=∠BCO，
∴∠ACB=90°，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴CM=BM，
∵OB=1，BC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠CBO=60°，
∴△MBC是等邊三角形，
∴∠CMB=∠MCB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠EMF=180°，
∴∠MEC+∠MFC=180°，
∴∠MEB=∠MFC，
又∵∠EMB=∠CMF，
∴

BM=CM ∠EMB=∠CMF ∠MEB=∠MFC

，
∴△MBE≌△MCF，
∴MF=ME，
又∵M(jìn)E=

13

CF，
∴MF=

13

CF，
令對(duì)稱軸與CD交于點(diǎn)H，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，
在直角△MHF中MF²=MH²+HF²
即(

13

t)2=(

3

)2+(t+1)2，
∴t1=-

1

2

，t2=

2

3

，
當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，BE=CF=

1

2

，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，
在直角△BGE中，
∵∠GBE=60°，
∴∠GEB=30°，
∴GB=

1

2

BE=

1

4

，
∴GE=

3

4

，
∴E（

3

4

，-

3

4

），
同理，當(dāng)t=

2

3

時(shí)，點(diǎn)E（

4

3

，

3

3

）．