Question

（2012•天水）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．
（3）P是直線x=1右側(cè)的該拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；
（2）設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2，過D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長，繼而可求得S_△DCA=-（t-2）²+4，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；
（3）首先設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），則m＞1；然后分別從①當(dāng)

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

時，△APM∽△ACO與②當(dāng)

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

時，△APM∽△CAO去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得：

a=- 1 2 b= 5 2

．
∴該拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如圖1，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，
則

n=-2 4m+n=0

，
解得：

m= 1 2 n=-2

，
由題意可求得直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點的坐標(biāo)為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時，S_最大=4．
∴當(dāng)D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

（3）存在．
如圖2，設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），則m＞1．
Ⅰ．當(dāng)1＜m＜4時，
則AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

時，△APM∽△ACO．
∴4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），解得m₁=2，m₂=4（舍去）．
∴P₁（2，1）．
②當(dāng)

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

時，△APM∽△CAO．
∴2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，解得m₃=4，m₄=5（均不合題意，舍去）．
∴當(dāng)1＜m＜4時，P₁（2，1）．
Ⅱ．當(dāng)m＞4時，同理可求P₂（5，-2）．
綜上所述，符合條件的點P為P₁（2，1）和P₂（5，-2）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．