Question

已知拋物線y=

1

2

x²-x+2．
（1）確定此拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖，若直線l：y=kx（k＞0）分別與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，與直線y=-x+4相交于點(diǎn)P，試證

OP

OA

+

OP

OB

=2；
（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）可通過(guò)構(gòu)建相似三角形將

OP

OA

和

OP

OB

進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，分別過(guò)A、P、B作x軸的垂線，設(shè)垂足為A′、P′、B′；那么

OP

OA

和

OP

OB

就可轉(zhuǎn)換成P、A的橫坐標(biāo)比以及P、B的橫坐標(biāo)比．由于A、B、P均為函數(shù)的交點(diǎn)，因此可聯(lián)立相關(guān)函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
（3）可根據(jù)直線y=kx的解析式，用A、B的橫坐標(biāo)表示出各自的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)韋達(dá)定理和兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和為4求出k的值，由于兩函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此兩函數(shù)聯(lián)立的方程△＞0，可得出一個(gè)k的取值范圍，然后根據(jù)這個(gè)范圍判定k的值是否符合要求即可．

解答：（1）解：拋物線y=

1

2

x²-x+2=

1

2

（x-1）²+

3

2

，
所以拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

2

）

（2）證明：由

y= 1 2 x2-x+2 y=kx

，
得x²-2（k+1）x+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=4；
由

y=kx y=-x+4

，
得x=

4

k+1

（k＞0）．
即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_P=

4

k+1

；
作AA′⊥x軸于A′，PP′⊥x軸于P′，BB′⊥x軸于B′，于是：

OP

OA

+

OP

OB

=

OP′

OA′

+

OP′

OB′

=

xp

x1

+

xp

x2

=

xp(x1+x2)

x1x2

=

4

k+1

•

2(k+1)

4

=2．

（3）解：不存在．
因?yàn)锳（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）在直線y=kx上，由題意，得
y₁+y₂=kx₁+kx₂=k（x₁+x₂）=k•2（k+1）=4；
所以k²+k-2=0．
解得k=1，k=-2（舍去）
當(dāng)k=1時(shí)，方程x²-2（k+1）x+4=0可化為x²-4x+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不同題意舍去
故適合條件的k值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)．