Question

（2012•湖北模擬）圓O半徑為2，圓O內(nèi)的點P到圓心O的距離為1，過點P的弦AB與劣弧AB組成一個弓形．此弓形面積的最小值為

4π

3

-

3

．

Answer 1

分析：當(dāng)過P的弦與OP垂直時，圓心到弦的距離最大，根據(jù)勾股定理及垂徑定理得到弦長最短，即此時弓形的面積最小，由OP與AB垂直得到三角形APO為直角三角形，根據(jù)直角邊OP等于斜邊OA的一半，得到∠OAP=30°，同理可得出∠OBP=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB的度數(shù)，同時由OA及OP的長，利用勾股定理求出AP的長，再由OP垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2AP，進(jìn)而求出AB的長，然后由扇形AOB的面積減去三角形AOB的面積，即可求出弓形AB的面積，即為所求弓形面積的最小值．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

由圖形得到弦AB⊥OP時，弓形AB面積最小，
∵AB⊥OP，
∴∠APO=90°，
∵在直角三角形AOP中，OA=2，OP=1，
∴∠OAP=30°，AP=

OA2-OP2

=

3

，
又∵OP⊥AB，
∴AB=2AP=2

3

，
同理∠OBP=30°，
∴∠AOB=120°，
則S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

．
故答案為：

4π

3

-

3

點評：此題考查了扇形面積的計算，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，以及三角形的面積公式，其中根據(jù)題意得出當(dāng)過P的弦與OP垂直時弓形的面積最小是解本題的關(guān)鍵．