Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的下底邊OA在x軸的負(fù)半軸上，CB∥OA，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運(yùn)動，連接PA，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．設(shè)△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時，以PA為底△PAB是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出AB的解析式；
（2）由于△PAB的高即為B點(diǎn)縱坐標(biāo)，BP=BC-t或BP=t-

10

3

，利用三角形面積公式即可直接求出S的表達(dá)式；
（3）求出AB的長，令A(yù)B=BP，即可求出△PAB是以PA為底的等腰三角形時t的值．

解答：解：（1）∵B的坐標(biāo)為（-

10

3

，4），OA=

3

2

CB，
∴OA=

3

2

×

10

3

=5，
∴A（-5，0），
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，
把A（-5，0），B（-

10

3

，4）分別代入解析式y(tǒng)=kx+b得，

-5k+b=0 - 10 3 k+b=4

，
解得

k= 12 5 b=12

，
∴一次函數(shù)解析式為y=

12

5

x+12；

（2）當(dāng)0≤t＜

10

3

時，如圖1，
∵BP=BC-t=

10

3

-t，
△PAB的高為4，
∴S=

1

2

×（

10

3

-t）×4=-2t+

20

3

，（0≤t＜

10

3

）．
當(dāng)t≥

10

3

時，如圖2，
∵BP=t-

10

3

，△PAB的高為4，
∴S=

1

2

（t-

10

3

）×4=2t-

20

3

，（t≥

10

3

）．


（3）當(dāng)0≤t＜

10

3

時，如圖3，作BD⊥x軸．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-

10

3

=

5

3

，BD=4，
∴AB=

( 5 3 )2+42

=

13

3

；
當(dāng)AB=BP時，

13

3

=

10

3

-t，
解得，t=-1＜0，無意義．
當(dāng)t≥

10

3

時，如圖4，設(shè)P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-

10

3

）²=（

13

3

）²，
解得t₁=

10+ 69

3

，t₂=

10- 69

3

（舍去）．
故存在以PA為底△PAB是等腰三角形，此時t=

10+ 69

3

．

點(diǎn)評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，要認(rèn)真對待．