Question

20、1261年，我國宋代數學家楊輝寫了一本書《詳解九章算術》．書中記載了一個用數字排成的三角形我們叫作楊輝三角形
（a+b）⁰=1…1
（a+b）¹=a+b…1     1
（a+b）²=a²+2ab+b²…1     2      1
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³…1    3      3      1
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴…••1     4     6     4     1     1
（1）請寫出第五行的數字

1、5、10、10、5、1

；
（2）第n行楊輝三角形數字與（a+b）ⁿ的展開結果關系如上圖所示，請寫出（a+b）⁵的展開結果；
（3）已知（a-b）¹=a-b，（a-b）²=a²-2ab+b²，（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³（a-b）⁴=a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴．請寫出（a-b）⁵的展開結果．

Answer 1

分析：（1）根據題意推出規(guī)律即可，（2） 把（a+b）5轉化為（a+b）²（a+b）³，然后利用完全平方公式和立方和公式進行計算即可，（3）（a-b）⁵轉化為（a-b）³（a-b）²，然后利用完全平方公式和立方差公式進行計算即可，

解答：解：（1）根據題意可推出第五行的數字為：1、5、10、10、5、1，

（2） （a+b）⁵=（a+b）³（a+b）²
=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，

（3））（a-b）⁵=（a-b）³（a-b）²
=（a³-3a²b+3ab²-b³）（a²-2ab+b²）
=a⁵-5a⁴b+10a³b²-10a²b³+5ab⁴-b⁵．
故答案為1、5、10、10、5、1．

點評：本題主要考察完全平方公式，關鍵在于根據題意歸納分析出楊輝三角形的規(guī)律．