Question

（2008•蕪湖）在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點D，DE⊥DB交AB于點E．
（1）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連接EF，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AD為切線，就必須證明OD和AC垂直，即∠ODC=90°；
（2）求的值，因為EF和AC平行，所以有△BEF∽△BAC，即只要求出即可．
解答：（1）證明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，連接OD（1分）
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°（4分）
又∵OD是⊙O的半徑
∴AC是⊙O的切線（5分）

（2）解：設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴
∴
∴
∴BE=2r=，（10分）
又∵BE是⊙O的直徑
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴（12分）
點評：此題主要考查了三角形相似的判定，以及勾股定理的應用．