Question

如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取點(diǎn)E，使得∠CDE=15°，連接BE．延長BE到F，連接CF，使得CF=BC．
（1）求證：DE=BE；
（2）求證：EF=CE+DE．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
∵在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE．

（2）在EF上取一點(diǎn)G，使EG=EC，連結(jié)CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，
∴△CEG是等邊三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF．
∵在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED．

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通過證明△ABE≌△ADE，就可以得出結(jié)論；
（2）在EF上取一點(diǎn)G，使EG=EC，連結(jié)CG，再通過條件證明△DEC≌△FGC就可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定運(yùn)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．