Question

小強(qiáng)在一次投籃訓(xùn)練中，從距地面高1.55米處的O點(diǎn)投出一球向籃圈中心A點(diǎn)投去，球的飛行路線為拋物線，當(dāng)球達(dá)到離地面最大高度3.55米時(shí)，球移動(dòng)的水平距離為2米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），測(cè)得OA與水平方向OC的夾角為30°，A、C兩點(diǎn)相距1.5米．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求籃球飛行路線所在拋物線的解析式；
（3）判斷小強(qiáng)這一投能否把球從O點(diǎn)直接投入籃圈A點(diǎn)（排除籃板球），如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不能，那么前后移動(dòng)多少米，就能使剛才那一投直接命中籃圈A點(diǎn)了．（結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系得到OC的長(zhǎng)，可以確定點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）根據(jù)球到達(dá)的最大高度和移動(dòng)的水平距離確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，然后把O（0，0）代入頂點(diǎn)式，求出拋物線的解析式．（3）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，發(fā)現(xiàn)拋物線的兩邊不等，說(shuō)明點(diǎn)A不在拋物線上，那么小強(qiáng)不能從O點(diǎn)把球投入．把y=1.5代入拋物線求出x的值，得到小強(qiáng)后退的距離．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30°，AC=1.5
∴OC=AC•cot30°=1.5×

3

=

3

2

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

2

3

，1.5）；

（2）∵頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)：3.55-1.55=2，
∴B（2，2），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+2
把點(diǎn)O（0，0）坐標(biāo)代入得：0=a（0-2）²+2，
解得a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

(x-2)2+2，
即y=-

1

2

x2+2x；

（3）①∵當(dāng)x=

3

2

3

時(shí)，y≠1.5，
∴小強(qiáng)這一投不能把球從O點(diǎn)直接投入球籃；
②當(dāng)y=1.5時(shí)，1.5=-

1

2

(x-2)2+2，
解得x₁=1（舍），x₂=3，
又∵3＞

3

2

3

，
∴小強(qiáng)只需向后退（3-

3

2

3

）米，就能使剛才那一投直接命中球籃A點(diǎn)了．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）利用直角三角形求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）根據(jù)頂點(diǎn)式求出拋物線的解析式．（3）先判斷點(diǎn)A不在拋物線上，然后求出小強(qiáng)后退的距離．