Question

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)．
（1）說明：MB=MC；
（2）設(shè)∠BAD=∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問：MB=MC是否還能成立？并證明其結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）在AD上取點(diǎn)P，MP∥CE∥BD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得P是BC的中點(diǎn)，再由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等即可求解；
（2）取AD、AE的中點(diǎn)F、G，連接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中點(diǎn)可知，線段MG、MF都是△ADE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理可判斷MFAG是平行四邊形，可用AD．AE表示出MG．MF的長(zhǎng)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)∠BAD=∠CAE通過等量代換可得∠BFM=∠MGC，可求出△BFM≌△MGC，由三角形全等即可得出答案．

解答：證明：（1）作點(diǎn)M作MP⊥AB于點(diǎn)P，
∵∠ABD=∠ACE=90°．
∴MP∥CE∥BD．
∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，
∴CP=BP，
∴MP是BC的中垂線，
∴MB=MC；

（2）MB=MC成立．
取AD、AE的中點(diǎn)F、G，連接BF、MF、MG、CG顯然線段MG、MF都是△ADE的中位線，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，MG=

1

2

AD，MF=

1

2

AE，
∴∠MFA=∠AGM，
又∵∠DBA=∠ACE=90°，
∴Rt△斜邊中線BF=

1

2

AD=MG，
CG=

1

2

AE=MF，
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA，
∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC，
∴△BFM≌△MGC，
∴MB=MC．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，（1）主要是利用線段垂直平分線的性質(zhì)；在解（2）時(shí)要作出輔助線，構(gòu)造出平行其性質(zhì)求解四邊形及直角三角形的中線是解答此題的關(guān)鍵．