已知角A是銳角,且tanA、cotA是關(guān)于x的一元二次方程x2+2kx+k2-3=0的兩個實(shí)數(shù)根.
(1)求k的值;
(2)問:角A能否等于45°?請說明你的理由.

解:(1)依題意得tanA•cotA=k2-3,
即1=k2-3,k2=4,
∴k=±2.
由∠A是銳角知tanA>0,cotA>0.
∴2k=-(tanA+cotA)<0,
即k<0,
∴k=-2,
此時方程的根的判別式△=(-4)2-4[(-2)2-3]=12>0,
所以方程有實(shí)數(shù)根,
∴k=-2;

(2)若A=45°,則tanA=cotA=1,
將x=1代入方程x2-4x+4-3=0,
左邊=1-4+1=-4≠0
∴1不是方程的根,
∴A不能取45°.
分析:(1)根據(jù)tanA•cotA=1和根與系數(shù)的關(guān)系x1•x2=,列出關(guān)于k的方程求解,注意角A是銳角,所以tanA>0,cotA>0,
所以x1+x2=<0,然后可以確定k的值;
(2)若A=45°,則tanA=cotA=1,即方程的解是x=1,代入方程x2-4x+4-3=0的左右兩邊不相等,即1不是方程的解,說明A不能取45°.
點(diǎn)評:本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式.
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