Question

如圖，在三角形ABC中，AC=BC，若將△ABC沿BC方向向右平移BC長(zhǎng)的距離，得到△CEF，連接AE．
（1）試猜想，AE與CF有何位置上的關(guān)系？并對(duì)你的猜想給予證明；
（2）若BC=10，tan∠ACB=時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）AE⊥CF
證明：如圖，連接AF，
∵AC=BC，
又∵△ABC沿BC方向向右平移BC長(zhǎng)的距離，
∴AC=CE=EF=AF．
∴四邊形ACEF是菱形．
∴AE⊥CF．

（2）如圖，作AD⊥BC于D
∵tan∠ACB=，
設(shè)AD=3KDC=4K，
在Rt△ADC中，AC=10，
∵AD²+DC²=AC²
∴K=2．
∴AD=6cm，DC=8cm．
∴BD=2cm．
在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理：AB=2c．
分析：（1）由平移可得，∠ACB=∠FEC，AC=CE=EF=AF，那么四邊形ACEF是菱形，由鄰邊相等可得到是菱形，所以對(duì)角線(xiàn)互相垂直；
（2）作出BC邊上高AD，利用AC，及tan∠ACB的值，求得AD，CD長(zhǎng)，進(jìn)而得到BD長(zhǎng)，利用勾股定理求解即可．
點(diǎn)評(píng)：平移前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，對(duì)應(yīng)角相等，作高構(gòu)造已給三角函數(shù)所在的直角三角形是常用的輔助線(xiàn)作法．