Question

如圖1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/秒，連接PQ，設(shè)運動的時間為t秒（0≤t≤4）
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC；
（3）當(dāng)t為何值時，△AQP面積為S=6cm²；
（4）如圖2，把△AQP翻折，得到四邊形AQPQ′能否為菱形？若能，求出菱形的周長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形的面積=AC•BC計算即可；
（2）由PQ∥BC時的比例線段關(guān)系，列一元一次方程求解即可；
（3）過P點作PD⊥AC于點D，構(gòu)造比例線段，求得PD，從而可以得到S的表達式，把s=6代入求出此時的時間t即可；
（4）假設(shè)存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，求得時間t的值；最后求菱形的周長．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴△ABC的面積=AC•BC=×8×6=24cm²；

（2）∵BP=2t，
∴AP=10-2t，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ACB，
∴，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時，PQ∥BC；

（3）如圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D．
則PD∥BC，
則，
即PD=6-t，
∵S=AQ•PD=×2t×（6-t），
∴當(dāng)S=6時，×2t×（6-t）=6，
解得：t=，
∴t=時，△AQP面積為S=6cm²；

（4）假設(shè)存在時刻t使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t（如圖2所示）．
過Q作QM⊥AB于點M，
則AM=5-t，
∵，
∴，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時，使四邊形AQPQ′為菱形，
此時菱形的周長為：4AQ=4×2t=4×2×=．
點評：本題是非常典型的動點型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關(guān)系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數(shù)的極值等知識點，涉及的考點眾多，計算量偏大，有一定的難度．本題考查知識點非常全面，是一道測試學(xué)生綜合能力的好題．