Question

（2010•西寧）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D．
（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作△ABC的外接圓⊙O，作直徑AE，連接BE；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求直徑AE的長．（證明△ABE∽△ADC）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形的外心是三邊中垂線的交點，可作△ABC任意兩邊的垂直平分線，它們的交點即為外接圓的圓心O，確定了圓心即可畫出⊙O及直徑AE．
（2）由圓周角定理可得：∠C=∠E，∠ABE=∠ADC=90°，由此可證得△ADC∽△ABE，根據(jù)所得比例線段即可求得直徑AE的長．
解答：解：（1）正確作出△ABC的外接圓⊙O，（3分）
正確作出直徑AE；（4分）

（2）證明：由作圖可知AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，（直徑所對的圓周角是直角）
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵=，
∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，（8分）
∴，即，
∴AE=9.6．
點評：解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的定義，要熟記此題的作圖方法，這在求三角形的外接圓半徑（或直徑）時，是常用也是主要的輔助線作法．