精英家教網(wǎng)已知:如圖所示,反比例函數(shù)y=
1
x
與直線y=-x+2只有一個公共點P,則稱P為切點.
(1)若反比例函數(shù)y=-
k
x
與直線y=kx+6只有一個公共點M,求當k<0時兩個函數(shù)的解析式和切點M的坐標;
(2)設(1)問結論中的直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點.將∠ABO沿折痕AB翻折,設翻折后的OB邊與x軸交于點C.
①直接寫出點C的坐標;
②在經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使以P、O、M、C為頂點的四邊形為梯形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)因為兩函數(shù)只有一個公共點,將關于兩個函數(shù)解析式的方程組轉化為一元二次方程,令△=0即可求出k的值.進而求出兩函數(shù)的解析式及M點的坐標.
(2)①根據(jù)直線解析式,先求出A、B兩點坐標,再根據(jù)翻折變換的性質,得∠OBA=∠ABC,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質定理,求出AC的長,易得C點坐標.
②由于A、C在x軸上,且A、C關于拋物線對稱軸對稱,可求出拋物線對稱軸方程,根據(jù)P點的移動情況,可見有三種情況:一、當MP∥OC時,可根據(jù)M點縱坐標得到P點縱坐標;二、MO∥CP時,可根據(jù)直線MO的系數(shù)求出直線CP的系數(shù),再將C點坐標代入,即可求得PC解析式,將對稱軸坐標代入解析式,即可求得P點坐標;三、可根據(jù)直線MC的系數(shù)求出直線CP的系數(shù),由于OP過原點,即可求得OP解析式,將對稱軸坐標代入解析式,即可求得P點坐標.
解答:解:(1)因為反比例函數(shù)y=-
k
x
與直線y=kx+6只有一個公共點,
將y=-
k
x
代入y=kx+6得
kx2+6x+k=0,
由△=36-4k2=0
得k=±3.
又∵k<0,
∴k=-3.
∴兩個函數(shù)的解析式分別為y=
3
x
,和y=-3x+6.
∴點M的坐標為(1,3).(2分)

(2)①如圖,y=-3x+6與x軸、y軸兩交點A、B的坐標分別為(2,0),(0,6).
根據(jù)翻折不變性,∠OBA=∠ABC,
設AC=a,根據(jù)勾股定理,BC=
62+(2+a)2
,
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質定理,
62+(2+a)2
a
=
6
2

解得a=
5
2
或a=-2(負值舍去),
于是OC=2+
5
2

=
9
2
,可求得點C的坐標為(
9
2
,0).(3分)
②存在點P滿足四邊形POMC為梯形.(4分)
又∵經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的對稱軸為x=
13
4
.(5分)
一、當MP1∥OC時,P1點的縱坐標為M點的縱坐標3,則P1點的縱坐標為(
13
4
,3),而此時OM與CP1不平行.
二、當MO∥CP2時,由于OM解析式為y=3x,設P2C解析式為y=3x+b,
將C(
9
2
,0)代入解析式
可得b=-
27
2
,
則P2C解析式為y=3x-
27
2

當x=
13
4
時,y=-
15
4

則P2點的坐標為(
13
4
,-
15
4
),
經(jīng)判斷,OP2與MC不平行.(6分)
三、當MC∥OP3時,由于CM解析式為y=-
6
7
x+
27
7
,則P3O解析式為y=-
6
7
x,
當x=
13
4
時,y=-
39
14
,則P3點的坐標為(
13
4
-
39
14
),
經(jīng)判斷,MO與CP不平行.(7分)
∴滿足條件的P點的坐標為(
13
4
,3)、(
13
4
,-
15
4
)和(
13
4
-
39
14
).
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點評:此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質,函數(shù)解析式組成的方程組的解的個數(shù)和函數(shù)圖象交點個數(shù)及根的判別式的關系.尤其是(3),結合梯形的性質和拋物線的性質,考查了點的存在性問題,要利用圖形進行分類討論.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

為了預防流感,學校對教室進行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與燃燒時間x(分鐘)成正比,燃燒后,y與x成反比(如圖所示),現(xiàn)測得藥物10分鐘燃燒完,此時教室內(nèi)每立方米空氣含精英家教網(wǎng)藥量為16mg.根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)求藥物燃燒時以及藥物燃燒后y與x的函數(shù)關系式;
(2)當每立方米空氣中含藥量低于4mg時對人體無害,那么從消毒開始經(jīng)多長時間后學生才能進教室?
(3)當每立方米空氣中藥物含量不低于8mg且持續(xù)時間不低于25分鐘時消毒才有效,那么這次消毒效果如何?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比,藥物燃燒完后,y與x成反比(如圖所示)現(xiàn)測得藥物8分鐘燃完,此時室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量為6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,解答下列問題

1.藥物燃燒時,y關于x的函數(shù)關系式為            。

自變量x的取值范圍是            。藥物燃燒完后,         

y關于x的函數(shù)關系式為              。

2.研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時,學生

方可進教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過       分鐘后,學生

才能進教室。

3.研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間

不低于10分鐘時,才能有效地殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否

有效,為什么?

 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

為了預防流感,學校對教室進行“藥熏消毒”。已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與燃燒時間x(分鐘)成正比,燃燒后,y與x成反比(如圖所示),現(xiàn)測得藥物10分鐘燃燒完,此時教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為16mg。根據(jù)以上信息解答下列問題: 

(1)求藥物燃燒時以及藥物燃燒后y與x的函數(shù)關系式;

(2)當每立方米空氣中含藥量低于4mg時對人體無害,那么從消毒開始經(jīng)多長時間后學生才能進教室?   

(3)當每立方米空氣中藥物含量不低于8mg且持續(xù)時間不低于25分鐘時消毒才有效,那么這次消毒效果如何?

 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比,藥物燃燒完后,y與x成反比(如圖所示)現(xiàn)測得藥物8分鐘燃完,此時室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量為6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,解答下列問題
【小題1】藥物燃燒時,y關于x的函數(shù)關系式為            。
自變量x的取值范圍是            。藥物燃燒完后,         
y關于x的函數(shù)關系式為              
【小題2】研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時,學生
方可進教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過       分鐘后,學生
才能進教室。
【小題3】研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間
不低于10分鐘時,才能有效地殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否
有效,為什么?

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科目:初中數(shù)學 來源:2013屆山東勝利七中八年級上學期期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比,藥物燃燒完后,y與x成反比(如圖所示)現(xiàn)測得藥物8分鐘燃完,此時室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量為6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,解答下列問題

1.藥物燃燒時,y關于x的函數(shù)關系式為             。

自變量x的取值范圍是             。藥物燃燒完后,         

y關于x的函數(shù)關系式為               。

2.研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時,學生

方可進教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過        分鐘后,學生

才能進教室。

3.研究表明,當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間

不低于10分鐘時,才能有效地殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否

有效,為什么?

 

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