Question

如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，tan∠OAB=

3

4

，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點．
（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當點C運動到什么位置時△AOC的面積是6；
（3）過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，是否存在點C使△BCD與△AOB全等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=kx+3與y軸分別交于B點，以及tan∠OAB=

3

4

，即可得出A點坐標，從而得出一次函數的解析式；
（2）根據△AOC的面積是6，得出三角形的高，即可求出C點的坐標；
（3）利用△BCD與△AOB全等，利用C點不同位置，得出3種不同圖形，進而利用相似，得出C點橫、縱坐標，進而得出C點坐標．

解答：解：（1）∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=

3

4

，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直線y=kx+3過A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-

3

4

，
∴直線的解析式為：y=-

3

4

x+3；

（2）∵A（4，0），
∴AO=4，
∵△AOC的面積是6，
∴△AOC的高為：3，
∴C點的縱坐標為3，
∵直線的解析式為：y=-

3

4

x+3，
∴3=-

3

4

x+3，
x=0，
∴點C運動到B點時，△AOC的面積是6（C是與A、B不重合的動點，所以不符合題意）；
當C點移動到x軸下方時，作CE⊥x軸于點E，
∵△AOC的面積是6，
∴

1

2

EC×AO=6，
解得：EC=3，
∴C點縱坐標為：-3，
∴C點橫坐標為：-3=-

3

4

x+3，
∴x=8，
∴點C點坐標為（8，-3）時，△AOC的面積是6；

（3）當過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，
且CD⊥y軸于點D時，BD=BO=3，△BCD與△BAO全等，
∴C點縱坐標為6，
∴6=-

3

4

x+3，
解得：x=-4，
∴C點坐標為：（-4，6）．
當過點D作DC⊥AB于點C，作CF⊥x軸，
當CB=3，BD=5，△BCD與△BOA全等，
∴BO∥CF，
∴

AB

AC

=

BO

FC

=

AO

AF

，
∴

5

8

=

4

4+FO

=

3

FC

，
解得：FO=

12

5

，CF=

24

5

，
∴C點坐標為：（-

12

5

，

24

5

）．
當D′C′⊥AB，過點C′作C′M⊥OA，
∴BC′=3，
∴AC′=2，
∵C′M∥BO，
∴

C′M

BO

=

AC′

AB

=

AM

AO

，
∴

C′M

3

=

2

5

=

AM

4

，
∴C′M=

6

5

，AM=

8

5

∴MO=

12

5

，
∴C′點坐標為：（

12

5

，

6

5

）．
綜上所述：C點坐標為：（-4，6），（-

12

5

，

24

5

），（

12

5

，

6

5

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及全等三角形的判定等知識，根據已知利用圖象上點的性質得出是解決問題的關鍵．