Question

14．△ABO在平面直角坐標系的位置如圖1所示，其中，點A（4，2）、B（3，0）、O（0，0）．

（1）將△ABO繞原點O逆時針旋轉90°得△A₁B₁O，在圖1中畫出旋轉后的圖形，其中點A₁的坐標是（-2，4）；
（2）將△A₁B₁O向x軸正方向平移3個單位得△A₂B₂B，B₂B與OA交于點M，在圖2中畫出圖形，并證明：MB平分∠A₂BA；
（3）求△ABM的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋轉的性質得出：△A₁B₁O，進而得出答案；
（2）根據題意得出△CAB∽△COA，進而求出∠B₂BA=∠A₂BB₂，進而得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△MAB∽△BAO，進而結合相似三角形的性質求出答案．

解答 （1）解：如圖1所示：△A₁B₁O即為所求，點A₁的坐標是：（-2，4）．
故答案為：（-2，4）；

（2）證明：如圖2，作AC⊥Ox軸，垂足為C，
則AC=2，OC=4，BC=OC-OB=4-3=1，
故CB：CA=CA：CO，
又從圖形變換知，∠A₂BB₂=∠AOB，
則△CAB∽△COA，
故∠BAC=∠AOC，
∵AC∥B₂B，
∴∠B₂BA=∠BAC，
∴∠B₂BA=∠A₂BB₂，即MB平分∠A₂BA；

（3）解：由（2）知，∠MBA=∠AOB，∠OMB=∠ABC，
故∠BMA=∠AOB，
則△MAB∽△BAO，
且相似之比為：1：2，
故S_△MAB：S_△BAO=1：4，
∵△ABO的面積為3，
∴△ABM的面積是：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換以及平移變換和相似三角形的判定與性質，根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形是解題關鍵．