Question

（2012•張家界）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧

CBA

上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，△APC與△ABC全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC為等邊三角形，可得出三個(gè)內(nèi)角都為60°，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數(shù)；
（2）由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為

CB

的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧對(duì)等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，進(jìn)而得到三角形COP與三角形BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形；
（3）P有兩個(gè)位置使三角形APC與三角形ABC全等，其一：P與B重合時(shí)，顯然兩三角形全等；第二：當(dāng)CP為圓O的直徑時(shí)，此時(shí)兩三角形全等，理由為：當(dāng)CP與AB都為圓的直徑時(shí)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出三角形ACP與三角形ABC為直角三角形，由AB=CP，AC為公共邊，利用HL即可得到直角三角形ACP與直角三角形ABC全等．

解答：解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；…（4分）
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
則四邊形OBPC為菱形；…（8分）
（3）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC；
當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，
∴∠CAP=∠ACB=90°，
在Rt△ABC與Rt△CPA中，

AB=CP AC=AC

，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
綜上所述當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合或CP經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，△APC與△ABC全等

點(diǎn)評(píng)：此題考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．