Question

如圖，在等腰梯形AOBC中，AC∥OB，OA=BC．以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xoy，已知已知A（2，2

3

），B（8，0）．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出等腰梯形AOBC的面積；
（2）設(shè)D為OB的中點(diǎn)，以D為圓心，OB長(zhǎng)為直徑作⊙D，試判斷點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系；
（3）在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)M，使△MOB與△AOB相似，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得C（6，2

3

）；由A、B、C的坐標(biāo)與梯形面積的求解方法，可求得等腰梯形AOBC的面積；
（2）連接AD，即可證得ACBD是平行四邊形，在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4，又由AD=AO=4=

1

2

OB，則可得點(diǎn)A在⊙D上；
（3）在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)M，使△MOB與△AOB相似，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)；①當(dāng)△OM₁B與△BAO相似時(shí)（如圖），則有

M1B

OB

=

AO

BO

．
②當(dāng)△OM₂B與△OBA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OA的延長(zhǎng)線于M₂（如圖），則有

M2B

OB

=

AB

AO

．當(dāng)△OM₃B與△BOA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OC的延長(zhǎng)線于M₃（如圖），則有

M3B

OB

=

AO

AB

．代入數(shù)值依次求解即可．

解答：解：（1）C（6，2

3

）；
過(guò)A作AE⊥OB于E．
則由A、B、C的坐標(biāo)可求得：
AC=4，OB=8，AE=2

3

．
∴SAOBC=

1

2

(AC+OB)•AE=

1

2

(4+8)×2

3

=12

3

；

（2）連接AD．
∵AC∥OB，即AC∥BD．
又D是圓心，
∴DB=

1

2

OB=4=AC．
∴ACBD是平行四邊形．
∴AD=CB=AO．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4．
∴AD=AO=4=

1

2

OB．
∴點(diǎn)A在⊙D上；

（3）∵點(diǎn)A在⊙D上，OB為直徑，
∴∠OAB=90°．即△OAB是直角三角形．
故符合題意的點(diǎn)M有以下3種情況：
①當(dāng)△OM₁B與△BAO相似時(shí)（如圖），則有

M1B

OB

=

AO

BO

．
∴M₁B=AO．
∵CB=AO，∴M₁B=CB．
∴點(diǎn)M₁與點(diǎn)C重合．
∴此時(shí)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（6，2

3

）；
②當(dāng)△OM₂B與△OBA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OA的延長(zhǎng)線于M₂（如圖），
則有

M2B

OB

=

AB

AO

．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4

3

．
∴M₂B=8

3

．
∴此時(shí)點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（8，8

3

）．
③當(dāng)△OM₃B與△BOA相似時(shí)，即過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線交OC的延長(zhǎng)線于M₃（如圖），
則有

M3B

OB

=

AO

AB

．
∴M₃B=

8 3

3

．
∴此時(shí)點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（8，

8 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及在直角坐標(biāo)系中的綜合應(yīng)用．題目比較難，注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用．