Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應(yīng)點A′，且B′C=3，求CN和AM的長．

Answer 1

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，設(shè)CN=x，則NB=9-x，NB′=9-x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了計算出x=4，即CN=4，得到NB′=9-4=5，根據(jù)三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，則

DB′

NC

=

DE

B′C

=

B′E

NB′

，可分別計算出DE=

9

2

，B′E=

15

2

，于是A′E=A′B′-B′E=9-

15

2

=

3

2

；然后再證明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到

ME

B′E

=

A′E

DE

，即

ME

15 2

=

3 2

9 2

，可計算出ME=

5

2

，最后利用AM=AD-ME-DE可求出AM的長．

解答：解：如圖，
∵邊長為9的正方形紙片，沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應(yīng)點A′，
∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，
設(shè)CN=x，則NB=9-x，NB′=9-x，
在Rt△NCB′，B′C=3，
∵NC²+B′C²=NB′²，
∴x²+3²=（9-x）²，解得x=4，
∴CN=4，NB′=9-4=5，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，
∴

DB′

NC

=

DE

B′C

=

B′E

NB′

，
而DB′=DC-CB′=6，
∴

DE

3

=

B′E

5

=

6

4

，
∴DE=

9

2

，B′E=

15

2

，
∴A′E=A′B′-B′E=9-

15

2

=

3

2

，
∵∠5=∠4，
∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，
∴

ME

B′E

=

A′E

DE

，即

ME

15 2

=

3 2

9 2

，
∴ME=

5

2

，
∴AM=AD-ME-DE=9-

5

2

-

9

2

=2，
故CN的長為4，AM的長為2．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．