Question

已知關于x的方程x²+（k+2）x+k-1=0．
（1）求證：方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個實數(shù)根，且（x₁-1）（x₂-1）=k-3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先計算根的判別式得到=k²+8，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得即△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-1，再利用（x₁-1）（x₂-1）=k-3得到k-1+k+2+1=k-3，然后解一次方程即可．

解答：（1）證明：△=（k+2）²+4（k-1）
=k²+8，
∵k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-1，
∵（x₁-1）（x₂-1）=k-3，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k-3，
∴k-1+k+2+1=k-3，
∴k=-5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．