Question

在一次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某小組將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動(dòng)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH，如圖所示．
（1）小組成員經(jīng)觀察、測(cè)量，發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有許多有趣的結(jié)論．下面是旋轉(zhuǎn)角度小于90°時(shí)他們得到的一些猜想：
①M(fèi)E=MA；
②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；
③∠MON保持45°不變．
請(qǐng)你對(duì)這三個(gè)猜想作出判斷（正確的在序號(hào)后的括號(hào)內(nèi)打上“√”，錯(cuò)誤的打上“×”）：
①（　�。�；②（　�。�；③（　�。�
（2）小組成員還發(fā)現(xiàn)：（1）中的△EMN的面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度∠AOE的變化而變化．請(qǐng)你指出在怎樣的位置時(shí)△EMN的面積S取得最大值．（不必證明）
（3）上面的三個(gè)猜想中若有正確的，請(qǐng)選擇其中的一個(gè)給予證明；若都是錯(cuò)誤的，請(qǐng)選擇其一說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）①（√）；②（×）；③（√）．

（2）當(dāng)∠AOE=45°時(shí)，△EMN的面積S取得最大值．

（3）證明：對(duì)于猜想①，連接OA、OE、AE、OD、ED．由已知得OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
又∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，即∠MAE=∠MEA．
∴ME=MA．
對(duì)于猜想③，證得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=

1

2

∠AOD=

1

2

×90°=45°，即∠MON保持45°不變．