Question

已知拋物線l₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞0）的頂點(diǎn)為A，拋物線l₂的頂點(diǎn)B在y軸上，且拋物線l₁和l₂關(guān)于P（1，3）成中心對(duì)稱．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求l₂的解析式和m的值；
（2）設(shè)l₂與x軸正半軸的交點(diǎn)是C，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線解析式，分析得出二次函數(shù)解析式，利用相似△BPE∽△BAF，得出m的值；
（2）假設(shè)△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分析得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出解析式．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，∵y=ax²-2amx+am²+2m+1=（x-m）²+2m+1，
∴頂點(diǎn)A（m，2m+1），又P（1，3），設(shè)AB的解析式是y=kx+b，
把點(diǎn)A，P的坐標(biāo)代入，得：
①-②，得：2m-2=（m-1）k，
∵m≠1（若m=1，則A，B，P三點(diǎn)重合，不合題意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l₂的頂點(diǎn)B（0，1），
∵拋物線l₁和l₂關(guān)于P（1，3）成中心對(duì)稱．
∴拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反，得l₂的解析式是：y=-x²+1，
∵點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)P（1，3）成中心對(duì)稱，做PE⊥y軸，于點(diǎn)E，做AF⊥y軸于點(diǎn)F，則
△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2；

（2）在Rt△ABF中，∵AB==2＜5，
∴當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，只有以下兩種情況：
如圖：若BC=AB=2，則OC==，
得C（，0）
∵C（，0）在y=-ax²+1上，
∴a=．

如圖：若AC=BC，設(shè)C（X，0），做AD⊥x軸于點(diǎn)D，在Rt△OBC中，BC²=x²+1，
在Rt△ADC中，AC²=（x-2）²+25，由x²+1=（x-2）²+25，
解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax²+1上，所以a=，
綜上所述，滿足△ABC為等腰三角形a的值有兩個(gè)：a=，a=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的對(duì)稱性和等腰三角形的判定，題目綜合性較強(qiáng)，注意從已知入手細(xì)心分析．