Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（6，0），C（0，-3）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）過C點(diǎn)作CD平行于x軸交拋物線于點(diǎn)D，寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并求AD、BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為P，連結(jié)PC、PD．
①判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由；
②若在拋物線上存在點(diǎn)Q，使直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個(gè)部分，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，-3），設(shè)出其解析式y(tǒng)=ax²+bx-3（a≠0），再將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論；
（2）由拋物線的對稱性可找到D點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出AD、BC直線的解析式，聯(lián)立方程組即可求得交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）①連接PE交CD于F點(diǎn)，找出F點(diǎn)坐標(biāo)，由對角線互相垂直且平分，可得出四邊形CEDP為菱形；②根據(jù)菱形的特征可知，若想面積平分，必過對角線的交點(diǎn)F，聯(lián)立直線OF和拋物線的解析式，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，-3），可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx-3（a≠0），
∵A（-2，0）、B（6，0）在拋物線圖象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{36a+6b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
（2）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{4}}$=2，
∵CD∥x軸，
∴C、D關(guān)于對稱軸x=2對稱，
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（2×2-0，-3），即D（4，-3）．
設(shè)直線AD的解析式為y=k₁x+b₁，直線BC的解析式為y=k₂x+b₂，
那么有$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1}+_{1}}\\{-3=4{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0=6{k}_{2}+_{2}}\\{-3=_{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{_{1}=-1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{1}{2}}\\{_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AD、BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)（2，-2）．
（3）①連接PE交CD于F點(diǎn)，如圖：

∵P點(diǎn)為拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-x-3的頂點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4）．
又∵E（2，-2），C（0，-3），D（4，-3），
∴直線CD解析式為y=-3，直線EF解析式為x=2，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3），且CD⊥EP，
∴PF=EF=1，CF=FD=2，
∴四邊形CEDP是菱形．
②假設(shè)存在，
∵直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個(gè)部分，
∴直線OQ必過點(diǎn)F（2，-3）．
設(shè)直線OQ的解析式為y=kx，則有-3=2k，即k=-$\frac{3}{2}$，
∵Q點(diǎn)在直線OQ和拋物線上，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{13}}\\{y=\frac{3-3\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{13}}\\{y=\frac{3+3\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
故存在點(diǎn)Q，使得直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個(gè)部分，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{13}$，$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$）和（-1-$\sqrt{13}$，$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、菱形的判定與性質(zhì)以及直線的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵：（1）代入已知點(diǎn)，細(xì)心計(jì)算即可求得拋物線解析式；（2）由對稱性找到D點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出直線AD、BC解析式，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①牢記菱形的判定定理；②熟悉菱形的特征．