Question

（2013•平?jīng)觯┤鐖D，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且點D在⊙O的外部，判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理由半徑OC垂直于弦AB，AE=

1

2

AB=4，再根據(jù)勾股定理計算出OE=3，則EC=2，然后在Rt△AEC中根據(jù)正切的定義可得到tan∠BAC的值；
（2）根據(jù)垂徑定理得到AC弧=BC弧，再利用圓周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根據(jù)切線的判定方法得AD為⊙O的切線．

解答：解：（1）∵半徑OC垂直于弦AB，
∴AE=BE=

1

2

AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，
∴OE=

OA2-AE2

=3，
∴EC=OC-OE=5-3=2，
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，
∴tan∠BAC=

EC

AE

=

2

4

=

1

2

；

（2）AD與⊙O相切．理由如下：
∵半徑OC垂直于弦AB，
∵AC弧=BC弧，
∴∠AOC=2∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAE=90°，
∴∠BAD+∠OAE=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理．