Question

【題目】（12分）已知點P是線段AB上與點A不重合的一點，且AP＜PB．AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP繞點B順時針也旋轉(zhuǎn)角α得到BP2，連接PP1、PP2．

（1）如圖1，當α=90°時，求∠P1PP2的度數(shù)；

（2）如圖2，當點P2在AP1的延長線上時，求證：△P2P1P∽△P2PA；

（3）如圖3，過BP的中點E作l1⊥BP，過BP2的中點F作l2⊥BP2，l1與l2交于點Q，連接PQ，求證：P1P⊥PQ．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

試題此題主要考查了幾何變換綜合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解題關鍵．（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，進而得出答案；（2）根據(jù)題意得出△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，進而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；（3）首先連結(jié)QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．

試題解析：（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP1，BP=BP2． ∵α=90°，

∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45°，

∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣α，

∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°－α）=α，

在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA．

（3）證明：如圖，連接QB． ∵l1，l2分別為PB，P2B的中垂線， ∴EB=BP，FB=BP2．

又BP=BP2， ∴EB=FB． 在Rt△QBE和Rt△QBF中，， ∴Rt△QBE≌Rt△QBF，

∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=α， 由中垂線性質(zhì)得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE=α，

由（2）知∠APP1=90°﹣α， ∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣α）－α=90°，

即 P1P⊥PQ．